חדוו"א 2 תרגיל 14 סעיף ב

שאלה טובה,

אם חישבנו את הנגזרות החלקיות וקיבלנו תוצאה מספרית (כמו למשל מה שכתבת,  Fx'(0,0)=0 ו Fy'(0,0)=1), אזי זה מעיד שהנגזרות החלקיות קיימות.

כמו-כן חשוב להכיר את הקשרים השונים:

אם הפונקציה גזירה בנקודה --> אזי הנגזרות החלקיות שלה קיימות בנקודה.

אם הנגזרות החלקיות רציפות בנקודה --> אזי הפונקציה גזירה בנקודה.

ושימי-לב שהכיוונים ההפוכים לא בהכרח נכונים!

ומה אם הנגזרות החלקיות קיימות אך שונות זו מזו? אין לכך כל משמעות לגזירות הפונקציה בנקודה. הן יכולות להיות שוות או שונות זו מזו. מה שחשוב זה רק הקשרים הרשומים לעיל.

הדרך הטובה ביותר להבין את זה היא בצורה גרפית-טופולוגית, כמו מפה:

אם הפונקציה היא הר, אזי הנגזרות הן השיפועים על גבי ההר.

למשל הדוגמא שנתת:  Fx'(0,0)=0 ו Fy'(0,0)=1 אומרת לנו שאם המטייל עומד בנקודה (0,0) על גבי פונקציית ההר, אז אם הוא מסתכל בכיוון X ("ימינה או שמאלה") - לפניו שיפוע 0, כלומר שביל שטוח לחלוטין. ואם הוא מסתכל בכיוון Y ("קדימה או אחורה") - אזי לפניו שיפוע 1, כלומר שביל בעל שיפוע של 45 מעלות (כי זה טנגס הזוית).

מקווה שמובן,

בע"ה שפע ברכה והצלחה!

חן.