תוחלת של מכפלת זוג מ"מ | פורום | סטאדיס

פורומים

לוטם

הטכניון

תוחלת של מכפלת זוג מ"מ

שלום,

אשמח לעזרה בשאלות הבאות:

1. האם אפשר להגיד כי בהינתן שני משתנים מקריים, X, Y, התוחלת של המכפלה XY מתנהגת על פי הנוסחא שצירפתי? אני מבססת את ההנחה הזו על הפתרון של השאלה המצורפת, סימנתי בצהוב את המעבר הרלוונטי.

2. האם יש דרך אחרת למצוא את התוחלת של XY? ניסיתי בעזרת טרנספורמציה דו מימדית, אבל הסתבכתי והגעתי לתשובה הלא נכונה.

3. האם X ו-Y במקרה זה ב"ת?

תודה!

לוטם

שאלה ופתרון רשמי.pdf

נוסחא.PNG

ניסיון לפתרון עם טרנספורמציה.pdf

חן הררי

הטכניון

הי לוטם!

1. בהחלט כן. אם נתונים שני מ"מ X ו- Y ואני רוצה לחשב את תוחלת המכפלה שלהם, עליי לחשב תחילה את פונקציית הצפיפות המשותפת שלהם ואז להשתמש בנוסחה שצרפת.

2. לא הייתי ממליץ ללכת על טרנספורמציה כאן. זו אומנם דרך יצירתית ועל כך כל הכבוד, אבל בכל זאת זה מעט מסבך. תוחלת זה עניין פשוט - הולכים לפי הגדרה, למשל הגדרת התוחלת של פונקציה (h(x,y בעלת שני משתנים הינה:

$E\left [ h\left ( x,y \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }h\left ( x,y \right )f_{X,Y}\left ( x,y \right )dxdy$

ולכן בפרט אם h(x,y)=xy אזי קיבלנו את הנוסחה:

$E\left [ XY \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }xyf_{X,Y}\left ( x,y \right )dxdy$

3. X ו- Y לא ב"ת, שהרי אם הם היו ב"ת אזי מכפלת הפונקציות השוליות שלהם היתה שווה למשותפת שלהם, אבל זה לא המקרה כאן.

אני מצרף לך שאלה דומה שפתרתי בצורה קצת יותר מפורטת וברורה, שאני מקווה שתהיה לך לעזר.

שפע ברכה והצלחה מאת ה'!

חן

1.jpg

2.jpg

3.jpg

לוטם

הטכניון

הבנתי, תודה רבה!